Cómo resolver ecuaciones cuadráticas

Una ecuación cuadrática (o de segundo grado) es un polinomio en el que la máxima potencia de una variable es 2. Existen tres formas principales de resolver ecuaciones de segundo grado: factorizar la ecuación (si es posible), utilizar la fórmula cuadrática, o completar el cuadrado. Si quieres aprender a dominar estos tres métodos, solo tienes que seguir los siguientes pasos.

Método 1 de 3: Factorizar la ecuación

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   Combina todos los términos semejantes y transpórtalos a un lado de la ecuación. El primer paso para factorizar una ecuación es transportar todos los términos a un lado de la ecuación, manteniendo positivo el término "x²". Para combinar los términos, suma o resta todos los términos "x²", los términos “x”, y las constantes (términos enteros), transportándolos a un lado de la ecuación hasta que no quede nada en el otro lado. Una vez que te quedes sin términos restantes, simplemente escribe "0" en ese lado del signo igual (=). A continuación, te mostramos cómo debes hacerlo:^[1]
   

   • 2x² - 8x - 4 = 3x - x² =
   • 2x² +x² - 8x -3x - 4 = 0
   • 3x² - 11x - 4 = 0
   
   
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   Factoriza la expresión. Para factorizar la expresión, tienes que utilizar los factores del término "x²" (3) y los factores del término constante (-4) para que se multipliquen y luego se sumen al término medio (-11). A continuación, te mostramos cómo debes hacerlo:
   

   • Dado que "3x²" solo tiene un conjunto de posibles factores, “3x” y “x”, puedes colocarlos entre paréntesis: (3x +/- ? )(x +/- ?) = 0.
   • Luego, realiza un proceso de descarte para reemplazar los factores de 4 y encontrar una combinación que cuando se multiplique dé como resultado “-11x”. Puedes utilizar las combinaciones: 4 y 1, o 2 y 2, ya que al multiplicar ambas se obtiene 4. Solo recuerda que uno de los términos debe ser negativo, ya que el término es -4.
   • Prueba con: (3x +1) (x -4). Si los multiplicas, obtendrás: 3x² -12x +x -4. Si combinas los términos “-12x” y “x”, obtendrás “-11x”, que es el término medio que estamos buscando. Con esto, acabas de factorizar la ecuación.
   • Como ejemplo, vamos a intentar realizar una combinación de factorización que no funcione: (3x -2)(x +2) = 3x² +6x -2x -4. Si combinas estos términos, obtendrás: 3x² -4x -4. Aunque al multiplicar los factores -2 y 2, obtenemos -4, el término medio no funciona porque queremos obtener “-11x” y no “-4x”.
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   Iguala cada conjunto entre paréntesis a cero como ecuaciones separadas. Al hacerlo, encontrarás dos valores para “x” que harán que toda la ecuación sea igual a cero. Ahora que la ecuación está factorizada, todo lo que tienes que hacer es igualar cada conjunto entre paréntesis a cero. Por lo tanto, debes escribir: 3x + 1 = 0 y x - 4 = 0.
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   Resuelve cada ecuación de manera independiente. En una ecuación de segundo grado, existirán dos valores para “x”. Simplemente, resuelve cada ecuación de manera independiente aislando la variable, y escribe ambos valores para x. A continuación, te mostramos cómo debes hacerlo:
   

   • 3x + 1 = 0 =
   • 3x = -1 =
   • 3x/3 = -1/3
   • x = -1/3
   • x - 4 = 0
   • x = 4
   • x = (-1/3, 4)
   
   

Método 2 de 3: Utilizar la fórmula cuadrática

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   Combina todos los términos semejantes y transpórtalos a un lado de la ecuación. Transporta todos los términos a un lado del signo igual (=), manteniendo positivo el término "x²". Escribe los términos en orden descendente de grados, de modo que el término "x²" venga primero, seguido del término “x” y del término constante. A continuación, te mostramos cómo debes hacerlo:
   

   • 4x² - 5x - 13 = x² -5
   • 4x² - x² - 5x - 13 +5 = 0
   • 3x² - 5x - 8 = 0
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   Escribe la fórmula cuadrática. La fórmula cuadrática es la siguiente: {-b +/-√ (b²- 4ac)}/2a^[2]
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   Identifica los valores de “a”, “b”, y “c” en la ecuación de segundo grado. La variable “a” es el coeficiente del término "x²", la “b” es el coeficiente del término “x”, y la “c” es la constante. Para la ecuación: 3x² -5x - 8 = 0, a = 3, b = -5, y c = -8. Escribe todo esto.
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   Reemplaza los valores de “a”, “b”, y “c” en la ecuación. Ahora que cuentas con los valores de las tres variables, reemplázalas en la ecuación de la siguiente manera:
   

   • {-b +/-√ (b² - 4ac)}/2
   • {-(-5) +/-√ ((-5)² - 4(3)(-8))}/2(3) =
   • {-(-5) +/-√ ((-5)² - (-96))}/2(3)
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   Realiza tus cálculos. Después de que hayas reemplazado los números, realiza los cálculos restantes para simplificar los signos positivos o negativos. Multiplica o eleva al cuadrado los términos restantes. A continuación, te mostramos cómo debes hacerlo:
   

   • {-(-5) +/-√ ((-5)² - (-96))}/2(3) =
   • {5 +/-√(25 + 95)}/6
   • {5 +/-√(120)}/6
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   Simplifica la raíz cuadrada. Si el número bajo el símbolo radical es un cuadrado perfecto, obtendrás un número entero. Si no lo es, entonces simplifícalo a su versión radical más simple. Si es negativo, y estás seguro de que debe ser negativo, entonces las raíces serán complejas. Para el siguiente ejemplo: √(121) = 11, puedes escribir: x = (5 +/- 11)/6.
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   Encuentra dos respuestas. Si has eliminado el símbolo de la raíz cuadrada, entonces puedes continuar hasta que encuentres ambos valores (positivo y negativo) para “x”. Ahora que ya tienes: (5 +/- 11)/6, puedes escribir dos opciones:
   

   • (5 + 11)/6
   • (5 - 11)/6
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   Obtén ambas respuestas (una positiva y otra negativa). Simplemente realiza los siguientes cálculos:
   

   • (5 + 11)/6 = 16/6
   • (5-11)/6 = -6/6
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   Simplifica. Para simplificar cada respuesta, simplemente divídelas por el número más grande que divida igualmente ambos números. Divide la primera fracción entre 2 y divide la segunda entre 6 para que obtengas los valores para “x”.
   

   • 16/6 = 8/3
   • -6/6 = -1
   • x = (-1, 8/3)
   
   

Método 3 de 3: Completar el cuadrado

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   Transporta todos los términos a un lado de la ecuación. Asegúrate de que el término “a” o "x²" sea positivo. A continuación, te mostramos cómo debes hacerlo:^[3]
   

   • 2x² - 9 = 12x =
   • 2x² - 12x - 9 = 0
     • En esta ecuación, el término “a” es 2, el término “b” es -12, y el término “c” es -9.
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   Transporta el término “c” o constante al otro lado. El término constante es el término numérico sin una variable. Transpórtalo hacia el lado derecho de la ecuación:
   

   • 2x² - 12x - 9 = 0
   • 2x² - 12x = 9
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   Divide ambos lados por el coeficiente del término “a” o "x²". Si "x²" no presenta un término adelante, simplemente tiene un coeficiente de 1, por lo que puedes saltarte este paso. En este caso, tendrás que dividir todos los términos entre 2, de la siguiente manera:
   

   • 2x²/2 - 12x/2 = 9/2 =
   • x² - 6x = 9/2
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   Divide “b” entre dos, elévalo al cuadrado, y suma el resultado en ambos lados. El término “b” en este ejemplo es -6. A continuación, te mostramos cómo debes hacerlo:
   

   • -6/2 = -3 =
   • (-3)² = 9 =
   • x² - 6x + 9 = 9/2 + 9
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   Simplifica ambos lados. Factoriza los términos del lado izquierdo para que obtengas: (x-3)(x-3), or (x-3)². Suma los términos en el lado derecho para que obtengas: 9/2 + 9 o 9/2 + 18/2, lo que equivale a 27/2.
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   Encuentra la raíz cuadrada en ambos lados. La raíz cuadrada de (x-3)² es simplemente (x-3). Puedes escribir la raíz cuadrada de 27/2 como: ±√(27/2). Por lo tanto: x - 3 = ±√(27/2).
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   Simplifica el radical y encuentra el valor de “x”. Para simplificar ±√(27/2), busca un cuadrado perfecto dentro de los números 27 y 2 o de sus factores. El cuadrado perfecto 9 se encuentra dentro de 27, ya que: 9 x 3 = 27. Saca el número 9 y escribe el número 3 (su raíz cuadrada) al margen del signo radical. Deja el número 3 en el numerador de la fracción debajo del signo radical, ya que el factor de 27 no se puede sacar, y deja el número 2 en la parte inferior. Luego, transporta la constante 3 del lado izquierdo de la ecuación al lado derecho, y escribe ambos valores para “x”:
   

   • x = 3 + (3√6)/2
   • x = 3 - (3√6)/2
   
   

Consejos

• Como puedes ver, el signo radical no desapareció por completo. Por lo tanto, los términos en el numerador no se pueden combinar (porque no son términos semejantes). Entonces, no hay razón para dividir el signo +/-. En vez de eso, lo dividimos a factores comunes, pero SOLO si el factor es común para ambas constantes Y para el coeficiente del radical.
• Si el número bajo la raíz cuadrada no es un cuadrado perfecto, entonces los últimos pasos difieren un poco. Por ejemplo:
• Si el término "b" es un número par, la fórmula sería la siguiente: {-(b/2) +/- √(b/2)-ac}/a.

Referencias:

• 1. ↑ http://www.mathsisfun.com/algebra/factoring-quadratics.html
  2. ↑ http://www.purplemath.com/modules/quadform.htm
  3. ↑ http://www.mathsisfun.com/algebra/completing-square.html